（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（1）若关于-优题课

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若关于的不等式有解，求的最大值；
（2）求不等式:的解集．

科目数学题型解答题难度中等

已知在 $△ A B C$ 中， $A + B = 3 C$ ， $2 \sin (A - C) = \sin B$ ．

（1）求 $\sin A$ ；

（2）设 $A B = 5$ ，求 $A B$ 边上的高．

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f (x) = 2 |x| + |x - 2|$ ．

（1）求不等式 $f (x) \leq 6 - x$ 的解集；

（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，求不等式组 $\{\begin{cases} f (x) \leq y \\ x + y - 6 \leq 0 \end{cases}$ 所确定的平面区域的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，曲线 $C_{2} : \{\begin{cases} x = 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数， $\frac{π}{2} < α < π$ ）．

（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

（2）若直线 $y = x + m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点、求 $m$ 的取值范围．

已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) \ln (1 + x)$ ．

（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2）是否存在 $a$ ， $b$ ，使得曲线 $y = f (\frac{1}{x})$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求 $a$ ， $b$ 的值，若不存在，说明理由；

（3）若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A (- 2, 0)$ 在 $C$ 上．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点 $(- 2, 3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M$ ， $N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

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