长度为25m的铁链悬挂在天花板上的O点，放开铁链，让其自由下-优题课

某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示， $xOy$ 平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与 $y$ 轴负方向成 $α$ 角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与 $x$ 轴正方向成 $α$ 角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为 $\frac{q}{m}$ 的带电粒子A，其速度大小为 $v_{0}$ 、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为 $2 v_{0}$ 。忽略边界效应，不计粒子重力。

（1）求角度 $α$ 及M、N两点的电势差。

（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为 $\frac{q}{m}$ 的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。

（3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为 $B_{1}$ ，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小 $B_{1}$ 及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。

如图所示，桌面上固定有一半径为R的水平光滑圆轨道，M、N为轨道上的两点，且位于同一直径上，P为MN段的中点。在P点处有一加速器（大小可忽略），小球每次经过P点后，其速度大小都增加 $v_{0}$ 。质量为m的小球1从N处以初速度 $v_{0}$ 沿轨道逆时针运动，与静止在M处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：

（1）球1第一次经过P点后瞬间向心力的大小；

（2）球2的质量；

（3）两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。

机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求：

（1）提升高度为h时，工件的速度大小；

（2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。

秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为 $m$ ，人蹲在踏板上时摆长为 $l_{1}$ ，人站立时摆长为 $l_{2}$ 。不计空气阻力，重力加速度大小为 $g$ 。

（1）如果摆长为 $l_{1}$ ，“摆球”通过最低点时的速度为 $v$ ，求此时“摆球”受到拉力 $T$ 的大小。

（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。

a.人蹲在踏板上从最大摆角 $θ_{1}$ 开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为 $θ_{2}$ 。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 $θ_{2} > θ_{1}$ 。

b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角 $θ$ 后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能 $Δ E_{k}$ 应满足的条件。

如图所示， $M$ 为粒子加速器； $N$ 为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为 $B$ 。从 $S$ 点释放一初速度为0、质量为 $m$ 、电荷量为 $q$ 的带正电粒子，经 $M$ 加速后恰能以速度 $v$ 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过 $N$ 。不计重力。

（1）求粒子加速器 $M$ 的加速电压 $U$ ；

（2）求速度选择器N两板间的电场强度 $E$ 的大小和方向；

（3）仍从 $S$ 点释放另一初速度为0、质量为 $2 m$ 、电荷量为 $q$ 的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为 $d$ ，求该粒子离开N时的动能 $E_{k}$ 。