如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于-优题课

阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔 $(J$ ． $Npler$ ， $1550 - 1617$ 年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(Evler$ ， $1707 - 1783$ 年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_{a} N$ ，比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为对数式 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{3} 9$ 可以转化为指数式 $3^{2} = 9$ ．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

$\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ，理由如下：

设 $\log_{a} M = m$ ， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$ ，

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$ ．

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$ ，

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：① $\log_{2} 32 =$ 　　，② $\log_{3} 27 =$ 　　，③ $\log_{7} 1 =$ 　　；

（2）求证： $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ；

（3）拓展运用：计算 $\log_{5} 125 + \log_{5} 6 - \log_{5} 30$ ．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ADC = ∠ B = 90 °$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于 $E$ ，若 $DE = BE$ ．

（1）求证： $DA = DC$ ；

（2）连接 $AC$ 交 $DE$ 于点 $F$ ，若 $∠ ADE = 30 °$ ， $AD = 6$ ，求 $DF$ 的长．

王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试根据所学知识测量河对岸大树 $AB$ 的高度，他在点 $C$ 处测得大树顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，再从 $C$ 点出发沿斜坡走 $2 \sqrt{10}$ 米到达斜坡上 $D$ 点，在点 $D$ 处测得树顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，若斜坡 $CF$ 的坡比为 $i = 1 : 3$ （点 $E$ 、 $C$ 、 $B$ 在同一水平线上）．

（1）求王刚同学从点 $C$ 到点 $D$ 的过程中上升的高度；

（2）求大树 $AB$ 的高度（结果保留根号）．

随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中 $A$ 表示“一等奖”， $B$ 表示“二等奖”， $C$ 表示“三等奖”， $D$ 表示“优秀奖” $)$ ．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）获奖总人数为　　人， $m =$ 　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请根据树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

已知 $x - y = 2$ ， $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$ ，求 $x^{2} y - x y^{2}$ 的值．