（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵为．（-优题课

（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵的逆矩阵为．
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）矩阵A的特征值及对应的特征向量．

科目数学题型解答题难度中等

C.（选做题选修 $4 - 3$ ）在平面之间坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $I$ 的参数方程式为 $\{\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t 为参数)$ ，

椭圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \cos θ, \\ y = 2 \sin θ \end{matrix} (θ$ 为参数）.设直线 $I$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点, 求线段 $AB$ 的长.

B.（选择题选修 4－2）已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 2 \end{matrix}]$ , 矩阵 $B$ 的逆矩阵 $B^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ , 求矩阵 $AB$ .

A.（选做题选修 $4 - 1$ ）如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $BD ⊥ AC$ ， $D$ 为垂足， $E$ 为 $BC$ 得中点，求证： $∠ EDC = ∠ ABD$ 。

记 $U = {1, 2, \dots, 100}$ . 对数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 和 $U$ 的子集 $T$ , 若 $T = \emptyset$ , 定义 $S_{T} = 0;$ 若

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k}\}$ , 定义 $S_{T} = a_{t_{1}} + a_{t_{2}} + \dots + a_{t_{k}}$ . 例如 : $T = {1, 3, 66}$ 时 ,

$S_{T} = a_{1} + a_{3} + a_{66} .$ 现设 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T = {2, 4}$ 时,

$S_{T} = 30$

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k (1 \leq k \leq 100)$ , 若 $T \subseteq {1, 2, \dots, k}$ , 求证: $S_{T} < a_{k + 1}$ ;

(3) 设 $C \subseteq U, D \subseteq U, S_{C} \geq S_{D}$ , 求证: $S_{C} + S_{C \cap D} \geq 2 S_{D}$ .

已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} (a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1)$ .

（1）设 $a = 2, b = \frac{1}{2}$ .

①求方程 $f (x) = 2$ 的根;

②若对任意 $x \in R$ , 不等式 $f (2 x) \geq m f (x) - 6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0 < a < 1, b > 1$ , 函数 $g (x) = f (x) - 2$ 有且只有 1 个零点, 求 $ab$ 的值。

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