因式分解（1）（2）-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AB = 10$ ， $AC = 8$ ．线段 $AD$ 由线段 $AB$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到， $ΔEFG$ 由 $ΔABC$ 沿 $CB$ 方向平移得到，且直线 $EF$ 过点 $D$ ．

（1）求 $∠ BDF$ 的大小；

（2）求 $CG$ 的长．

先化简，再求值： $(\frac{2 m + 1}{m} - 1) \div \frac{m^{2} - 1}{m}$ ，其中 $m = \sqrt{3} + 1$ ．

解方程组： $\{\begin{matrix} x + y = 1 \\ 4 x + y = 10 \end{matrix}$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过点 $A (0, 2)$ ．

（1）若点 $(- \sqrt{2}$ ， $0)$ 也在该抛物线上，求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 都满足：当 $x_{1} < x_{2} < 0$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) > 0$ ；当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ．以原点 $O$ 为心， $OA$ 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $ΔABC$ 有一个内角为 $60 °$ ．

①求抛物线的解析式；

②若点 $P$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称，且 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点共线，求证： $PA$ 平分 $∠ MPN$ ．

如图，在足够大的空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $MN$ ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $ABCD$ ，其中 $AD ⩽ MN$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若 $a = 20$ ，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙 $AD$ 的长；

（2）求矩形菜园 $ABCD$ 面积的最大值．