已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，ABCD，AE∥-优题课

探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： $P_{1} P_{2} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ 他还利用图2证明了线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P (x, y) P$ 的坐标公式： $x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点 $M (2, - 1)$ ， $N (- 3, 5)$ ，则线段 $MN$ 长度为　　；

②直接写出以点 $A (2, 2)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (3, - 1)$ ， $D$ 为顶点的平行四边形顶点 $D$ 的坐标：　　；

拓展：（3）如图3，点 $P (2, n)$ 在函数 $y = \frac{4}{3} x (x ⩾ 0)$ 的图象 $OL$ 与 $x$ 轴正半轴夹角的平分线上，请在 $OL$ 、 $x$ 轴上分别找出点 $E$ 、 $F$ ，使 $ΔPEF$ 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $CD$ 平分 $∠ ACB$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，过点 $D$ 作 $PQ / / AB$ 分别交 $CA$ 、 $CB$ 延长线于 $P$ 、 $Q$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $B D^{2} = AC \cdot BQ$ ；

（3）若 $AC$ 、 $BQ$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x + \frac{4}{x} = m$ 的两实根，且 $\tan ∠ PCD = \frac{1}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第 $x$ 天生产的产品数量为 $y$ 件， $y$ 与 $x$ 满足如下关系： $y = \{\begin{matrix} 7.5 x (0 ⩽ x ⩽ 4) \\ 5 x + 10 (4 < x ⩽ 14) \end{matrix}$ ．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第 $x$ 天生产的产品成本为 $P$ 元 $/$ 件， $P$ 与 $x$ 的函数图象如图．工人甲第 $x$ 天创造的利润为 $W$ 元，求 $W$ 与 $x$ 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

如图，信号塔 $PQ$ 座落在坡度 $i = 1 : 2$ 的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成 $60 °$ 角时，测得信号塔 $PQ$ 落在斜坡上的影子 $QN$ 长为 $2 \sqrt{5}$ 米，落在警示牌上的影子 $MN$ 长为3米，求信号塔 $PQ$ 的高．（结果不取近似值）

如图，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是边 $AC$ 上一个动点，过点 $O$ 作直线 $EF / / BC$ 分别交 $∠ ACB$ 、外角 $∠ ACD$ 的平分线于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $CE = 8$ ， $CF = 6$ ，求 $OC$ 的长；

（2）连接 $AE$ 、 $AF$ ．问：当点 $O$ 在边 $AC$ 上运动到什么位置时，四边形 $AECF$ 是矩形？并说明理由．