（本小题满分12分）已知二次函数，且方程有唯一解，（1）求函-优题课

题文

（本小题满分12分）已知二次函数，且方程有唯一解，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，请写出实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：不定方程和方程组平面向量的数量积复合三角函数

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如图， $∆ A B C$ 和 $∆ B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120^{°}$ ， $E, F$ 分别为 $A C, D C$ 的中点.
（1）求证： $E F ⊥ B C$ ；
（2）求二面角 $E - B F - C$ 的正弦值.

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用 $X$ 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望 $E (X)$ 及方差 $D (X)$ .

在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ ,且 $a > c$ ,已知 $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} = 2, c o s B = \frac{1}{3}, b = 3$ ,求：
（1） $a$ 和 $c$ 的值；
（2） $\cos (B - C)$ 的值.

已知常数 $a > 0$ ,函数 $f (x) = \ln (1 + a x) - \frac{2 x}{x + 2}$ .
(1)讨论 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性;
(2)若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ,且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ,求 $a$ 的取值范围.

如图, $O$ 为坐标原点,椭圆 $C_{1} :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,离心率为 $e_{1}$ ;双曲线 $C_{2} :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ,离心率为 $e_{2}$ ,已知 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,且 $| F_{2} F_{4} | = \sqrt{3} - 1$ .

(1)求 $C_{1} C_{2}$ 的方程;

(2)过 $F_{1}$ 点作 $C_{}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B$ , $M$ 为 $A B$ 的中点,当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时,求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值.

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