（本题8分）如图，AB是半圆O的直径，O为AB中点，C、D两-优题课

（本题8分）如图，AB是半圆O的直径，O为AB中点，C、D两点在弧AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若的度数为，求的度数.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图1，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 20$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 为 $BC$ 边上的动点（点 $D$ 不与点 $B$ ， $C$ 重合）．以 $D$ 为顶点作 $∠ ADE = ∠ B$ ，射线 $DE$ 交 $AC$ 边于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ AD$ 交射线 $DE$ 于点 $F$ ，连接 $CF$ ．

（1）求证： $ΔABD ∽ ΔDCE$ ；

（2）当 $DE / / AB$ 时（如图 $2)$ ，求 $AE$ 的长；

（3）点 $D$ 在 $BC$ 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 $DF = CF$ ？若存在，求出此时 $BD$ 的长；若不存在，请说明理由．

随着 $5 G$ 技术的发展，人们对各类 $5 G$ 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款 $5 G$ 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第 $x (x$ 为正整数）个销售周期每台的销售价格为 $y$ 元， $y$ 与 $x$ 之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的关系式；

（2）设该产品在第 $x$ 个销售周期的销售数量为 $p$ （万台）， $p$ 与 $x$ 的关系可以用 $p = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 为圆上的两点， $OC / / BD$ ，弦 $AD$ ， $BC$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $\hat{AC} = \hat{CD}$ ；

（2）若 $CE = 1$ ， $EB = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）在（2）的条件下，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BA$ 的延长线于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PQ / / CB$ 交 $⊙ O$ 于 $F$ ， $Q$ 两点（点 $F$ 在线段 $PQ$ 上），求 $PQ$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 和 $y = - 2 x$ 的图象相交于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为 $B$ ，连接 $OB$ ，求 $ΔABO$ 的面积．

2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 $A$ 处，测得起点拱门 $CD$ 的顶部 $C$ 的俯角为 $35 °$ ，底部 $D$ 的俯角为 $45 °$ ，如果 $A$ 处离地面的高度 $AB = 20$ 米，求起点拱门 $CD$ 的高度．（结果精确到1米；参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70)$

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