如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与y轴交于点C.（1）-优题课

如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的关系式，并判断的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图1，已知矩形 $AOCB$ ， $AB = 6 cm$ ， $BC = 16 cm$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $3 cm / s$ 的速度向点 $O$ 运动，直到点 $O$ 为止；动点 $Q$ 同时从点 $C$ 出发，以 $2 cm / s$ 的速度向点 $B$ 运动，与点 $P$ 同时结束运动．

（1）点 $P$ 到达终点 $O$ 的运动时间是　　 $s$ ，此时点 $Q$ 的运动距离是　　 $cm$ ；

（2）当运动时间为 $2 s$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点的距离为　　 $cm$ ；

（3）请你计算出发多久时，点 $P$ 和点 $Q$ 之间的距离是 $10 cm$ ；

（4）如图2，以点 $O$ 为坐标原点， $OC$ 所在直线为 $x$ 轴， $OA$ 所在直线为 $y$ 轴， $1 cm$ 长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 $AC$ ，与 $PQ$ 相交于点 $D$ ，若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过点 $D$ ，问 $k$ 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 $k$ 的值．

“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点， $\dots \dots$ ，按此规律，求图10、图 $n$ 有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是 $6 \times 1 = 6$ 个；图2中黑点个数是 $6 \times 2 = 12$ 个：图3中黑点个数是 $6 \times 3 = 18$ 个； $\dots \dots$ ；所以容易求出图10、图 $n$ 中黑点的个数分别是　　、　　．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有　　个圆圈；第 $n$ 个点阵中有　　个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

某种蔬菜的销售单价 $y_{1}$ 与销售月份 $x$ 之间的关系如图1所示，成本 $y_{2}$ 与销售月份 $x$ 之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）

（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益 $=$ 售价 $-$ 成本）

（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．

（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？

目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了 $m$ 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

（1）根据图中信息求出 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；

（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？

（4）已知 $A$ 、 $B$ 两位同学都最认可“微信”， $C$ 同学最认可“支付宝”， $D$ 同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．

如图， $CE$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $OB$ ，作 $ED / / OB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $BD$ 的延长线与 $CE$ 的延长线交于点 $A$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为1， $\tan ∠ DEO = \sqrt{2}$ ，求 $AE$ 的长．