已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得-优题课

已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行．
(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有________(填入序号即可)；
(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”．
已知：如图，________．
求证：________________________．
证明：________________________．

科目数学题型解答题难度中等

如图，直线 $y = - x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $B$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴另一交点为 $A$ ．点 $P$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度在线段 $BC$ 上由点 $B$ 向点 $C$ 运动（点 $P$ 不与点 $B$ 和点 $C$ 重合），设运动时间为 $t$ 秒，过点 $P$ 作 $x$ 轴垂线交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $M$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点 $P$ 作 $y$ 轴垂线交 $y$ 轴于点 $N$ ，连接 $MN$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，当 $\frac{MQ}{NQ} = \frac{1}{2}$ 时，求 $t$ 的值；

（3）如图②，连接 $AM$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，当 $ΔPDM$ 是等腰三角形时，直接写出 $t$ 的值．

如图， $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 是射线 $CB$ 上一点（点 $D$ 不与点 $B$ 重合），以 $AD$ 为斜边作等腰直角三角形 $ADE$ （点 $E$ 和点 $C$ 在 $AB$ 的同侧），连接 $CE$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 与点 $C$ 重合时，直接写出 $CE$ 与 $AB$ 的位置关系；

（2）如图②，当点 $D$ 与点 $C$ 不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当 $∠ EAC = 15 °$ 时，请直接写出 $\frac{CE}{AB}$ 的值．

如图，点 $M$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 延长线上一点，以 $AM$ 为直径的 $⊙ O$ 交矩形对角

线 $AC$ 于点 $F$ ，在线段 $CD$ 上取一点 $E$ ，连接 $EF$ ，使 $EC = EF$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\cos ∠ CAD = \frac{3}{5}$ ， $AF = 6$ ， $MD = 2$ ，求 $FC$ 的长．

某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 $90 %$ ，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量 $y$ （个 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象分别交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $C (2, 4)$ ，点 $B$ 是线段 $AC$ 的中点．

（1）求一次函数 $y = k_{1} x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的解析式；

（2）求 $ΔCOD$ 的面积；

（3）直接写出当 $x$ 取什么值时， $k_{1} x + b < \frac{k_{2}}{x}$ ．