（1）分解因式：（2）解方程．-优题课

阅读下面材料，完成（1） $-$ （3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 在 $BC$ 上， $AD = AB$ ， $AB = kBD$ （其中 $\frac{\sqrt{2}}{2} < k < 1) ∠ ABC = ∠ ACB + ∠ BAE$ ， $∠ EAC$ 的平分线与 $BC$ 相交于点 $F$ ， $BG ⊥ AF$ ，垂足为 $G$ ，探究线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $∠ BAE$ 与 $∠ DAC$ 相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系．”

$\dots \dots$

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $BG$ ，与 $AC$ 相交于点 $H$ （如图 $2)$ ，可以求出 $\frac{AH}{HC}$ 的值．”

（1）求证： $∠ BAE = ∠ DAC$ ；

（2）探究线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系（用含 $k$ 的代数式表示），并证明；

（3）直接写出 $\frac{AH}{HC}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图1，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 的切线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．且 $∠ APC = ∠ BCP$

（1）求证： $∠ BAC = 2 ∠ ACD$ ；

（2）过图1中的点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，垂足为 $E$ （如图 $2)$ ，当 $BC = 6$ ， $AE = 2$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A (3, 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B$ 在 $OA$ 的延长线上， $BC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $BC$ 与反比例函数的图象相交于点 $D$ ，连接 $AC$ ， $AD$ ．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若 $S_{ΔACD} = \frac{3}{2}$ ，设点 $C$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，求线段 $BD$ 的长．

某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元

（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；

（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？

某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．

成绩等级	频数（人 $)$	频率
优秀	15	0.3
良好
及格
不及格	5

根据以上信息，解答下列问题

（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为　　人，成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为　　 $%$ ；

（2）被测试男生的总人数为　　人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为　　 $%$ ；

（3）若该校八年级共有180名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．