叙述并证明角平分线性质定理.-优题课

阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - xy + y^{2})$

立方差公式： $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + xy + y^{2})$

根据材料和已学知识，先化简，再求值： $\frac{3 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} - 8}$ ，其中 $x = 3$ ．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x ⩽ 6 \\ \frac{3 x + 1}{2} > x \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

如图，二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 的图象过原点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $(8, 0)$

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方作 $x$ 轴的平行线 $y_{1} = m$ ，交二次函数图象于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $A$ 、 $B$ 两点分别作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为点 $D$ 、点 $C$ ．当矩形 $ABCD$ 为正方形时，求 $m$ 的值；

（3）在（2）的条件下，动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿射线 $AB$ 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点 $Q$ 以相同的速度从点 $A$ 出发沿线段 $AD$ 匀速运动，到达点 $D$ 时立即原速返回，当动点 $Q$ 返回到点 $A$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，交抛物线于点 $E$ ，交直线 $AC$ 于点 $F$ ，问：以 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $Q$ 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

如图1，已知 $⊙ O$ 外一点 $P$ 向 $⊙ O$ 作切线 $PA$ ，点 $A$ 为切点，连接 $PO$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，连接 $AO$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ PB$ ，分别交 $PB$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ．

（1）求证： $ΔAPO ~ ΔDCA$ ；

（2）如图2，当 $AD = AO$ 时

①求 $∠ P$ 的度数；

②连接 $AB$ ，在 $⊙ O$ 上是否存在点 $Q$ 使得四边形 $APQB$ 是菱形．若存在，请直接写出 $\frac{PQ}{CQ}$ 的值；若不存在，请说明理由．

某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管 $DE$ 与支架 $CB$ 所在直线相交于点 $O$ ，且 $OB = OE$ ；支架 $BC$ 与水平线 $AD$ 垂直． $AC = 40 cm$ ， $∠ ADE = 30 °$ ， $DE = 190 cm$ ，另一支架 $AB$ 与水平线夹角 $∠ BAD = 65 °$ ，求 $OB$ 的长度（结果精确到 $1 cm$ ；温馨提示： $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14)$