某一工程在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天-优题课

某一工程在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程款1.2万元，乙工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书预算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定时间多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点且与 $x$ 轴的负半轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点 $D$ 为直线 $AB$ 上方抛物线上的一个动点，当 $∠ ABD = 2 ∠ BAC$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）已知 $E$ ， $F$ 分别是直线 $AB$ 和抛物线上的动点，当以 $B$ ， $O$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$ 点的坐标．

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ ABC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，连接 $AC$ ， $AC$ 是否平分 $∠ BCD$ ？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，其外角 $∠ EAD$ 的平分线交 $CD$ 的延长线于点 $F$ ， $CD = 10$ ， $AF = 5$ ，求 $DF$ 的长．

某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 $x$ 天的生产成本 $y$ （元 $/$ 件）与 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图所示，第 $x$ 天该产品的生产量 $z$ （件 $)$ 与 $x$ （天 $)$ 满足关系式 $z = - 2 x + 120$ ．

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　　元；

（2）设第 $x$ 天该厂生产该产品的利润为 $w$ 元．

①求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 的中点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ 两点，过点 $F$ 作 $FG ⊥ AB$ 于点 $G$ ．

（1）试判断 $FG$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

（2）若 $AC = 3$ ， $CD = 2.5$ ，求 $FG$ 的长．

某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和解析，下面给出了部分信息：

七、八年级学生一分钟跳绳成绩解析表

年级	平均数	中位数	众数
七	116	$a$	115
八	119	126	117

七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组： $60 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 100$ ， $\dots$ ， $180 ⩽ x < 200)$ 在 $100 ⩽ x < 120$ 这一组的是：

100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　；

（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是　　（填“甲”或“乙” $)$ ，理由是　　．

（3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？