某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难-优题课

题文

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0．5 慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍），游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．
（Ⅰ）设闯过n （ n∈N，且n≤12）关后三种奖励方案获得的慧币依次为，，，试求出A_n，，的表达式；
（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

科目数学题型解答题难度中等

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ， $P$ 为 $C$ 上的任意点.
（1）求证：点 $P$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点 $A$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，求 $|P A|$ 的最小值.

如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 $120^{°}$ 的扇形 $A O B$ ,小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处,且小区里有一条平行于 $B O$ 的小路 $C D$ ,已知某人从 $C$ 沿 $C D$ 走到 $D$ 用了10分钟,从 $D$ 沿 $D A$ 走到 $A$ 用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径 $O A$ 的长(精确到1米).

如图,在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $B C_{1}$ 的中点,求直线 $D E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小(结果用反三角函数表示).

如图，已知点 $P$ 在正方体 $A B C D - A ` B ` C ` D `$ 的对角线 $B D `$ 上， $∠ P D A = 60 °$ .

（Ⅰ）求 $D P$ 与 $C C `$ 所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面 $A A ` D ` D$ 所成角的大小.

已知函数
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，证明：

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