（本小题满分14分）已知双曲线
（
，
），
、
分别是它的左、右焦点，
是其左顶点，且双曲线的离心率为
．设过右焦点的直线
与双曲线
的右支交于
、
两点，其中点位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
、
分别与直线
交于
、
两点，求证：
；
（3）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
E是BC上任意一点，EF⊥AB于F。
求证：
（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M（0，-2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足
=(-4,-12).
（1）求直
线l和抛物线的方程；
（2）当抛物线上一动点P在点A和B之间运动时，求ΔABP面积的最大
值．
（本小题满分12分）已知函数f(x)=
.
（1）若f(x)在
上是增函数，求实数a的取值范围;
（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在
上的最小值和最大值。
（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4,AA1
，
点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E
. 
（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1;
（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
（本小题满分12分）已知f(x)=
奇函数，且
。
（1）求实数p , q的值。
（2）判断函数f（x）在
上的单调性，并证明。