已知函数
，
，
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）记函数
，当
时，
在
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围；
（3）记函数
，证明：存在
，此时有一条过原点的直线
与
的图象有两个切点．
（本小题满分14分
）如图，棱锥
的底面
是矩形，
面
，
为
的中点.
（1）求证：
面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）设
为
的中点，在棱
上是否存在点
，
使
面
？如果存在，请指出
点的位置；
如果不存在，请说明理由.
(本小题满分14分)
某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、搭载实验费用、产品重量和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：
如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益是多少?
（本小题满分12分）
已知命题
：关于
的方程
有实数解；命题
：
.
(本小题满分12分)
在
中，角
所对的边
长分别为
，已知
.求:
(1)边
的长；
(2)的面积
（本小题满分14分）
已知椭圆方程为
（
）
，抛物线方程为
．过抛物线的焦点作
轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为
，抛物线在点处的切线经过椭圆的右焦点
．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设
为椭圆上的动点，由向
轴作垂线
，垂足为
，且直线上一点
满足
，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？