矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分-优题课

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由．
（3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

计算：

（1） ${(x - y)}^{2} + x (x + 2 y)$ ；

（2） $(1 - \frac{a}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ．

如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 8)$ ，连结 $AB$ ．直线 $CM$ 分别交 $⊙ M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C (17, 0)$ ，连结 $AE$ ．

（1）求 $⊙ M$ 的半径和直线 $CM$ 的函数表达式；

（2）求点 $D$ ， $E$ 的坐标；

（3）点 $P$ 在线段 $AC$ 上，连结 $PE$ ．当 $∠ AEP$ 与 $ΔOBD$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $OP$ 的长．

某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

营养品信息表
营养成份	每千克含铁42毫克
配料表	原料	每千克含铁
	甲食材	50毫克
	乙食材	10毫克
规格	每包食材含量	每包单价
$A$ 包装	1千克	45元
$B$ 包装	0.25千克	12元

（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．

①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若 $A$ 的数量不低于 $B$ 的数量，则 $A$ 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $BD$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $∠ AEB = ∠ CFD = 90 °$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；

（2）当 $AB = 5$ ， $\tan ∠ ABE = \frac{3}{4}$ ， $∠ CBE = ∠ EAF$ 时，求 $BD$ 的长．

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 8 (a \neq 0)$ 经过点 $(- 2, 0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A (- 4, m)$ ， $B (n, 7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．