已知椭圆C的中心为坐标原点,长轴长为4,一条准线方程为
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求椭圆C被直线y=x+1截得的弦长;
(3)已知点A为椭圆的左顶点,过点A作斜率为的两条直线与椭圆分别交于点P,Q,若
,证明:直线PQ过定点,并求出定点的坐标.
已知:如图,在等腰梯形中,
,过点
作
的平行线
,交
的延长线于点
.求证:⑴
⑵
已知:,求证:
.
在直角坐标系xOy中,椭圆C1:的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2:
的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且
.
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A、B两点,若
·
=0,求直线l的方程.
阅读下列材料,解决数学问题.圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质,被人们广泛地应用于各种设计之中,比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯,抛物面用来制作探照灯等,它们的截面分别是椭圆和抛物线.双曲线也具有非常好的光学性质,从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是发散的,它们好像是从另一个焦点射出的一样,如图(1)所示.反比例函数的图像是以直线
为轴,以坐标轴为渐近线的等轴双曲线,记作C.
(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标;
(Ⅱ)如图(2),从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直,求入射光线的方程.
(1)(2)
设为非零实数,
(Ⅰ)写出并判断
是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;
(Ⅱ)设,求数列
的前n项和
.