有这样一道题：求，其中．有位同学把错抄成，但他的计算结果也是-优题课

如图， $E$ ， $F$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证：四边形 $BEDF$ 是菱形；

（2）若正方形边长为4， $AE = \sqrt{2}$ ，求菱形 $BEDF$ 的面积．

如图， $ΔABC$ 中， $A (- 4, 4)$ ， $B (- 4, - 2)$ ， $C (- 2, 2)$ ．

（1）请画出将 $ΔABC$ 向右平移8个单位长度后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）求出 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的余弦值；

（3）以 $O$ 为位似中心，将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在 $y$ 轴右侧画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

某校开展对学生“劳动习惯”情况的调查，为了解全校500名学生“主动做家务事”的情况，随机抽查了该校部分学生一周“主动做家务事”的次数，制成了如下的统计表和统计图．

次数	0	1	2	3	4
人数	3	6	13		12

（1）根据以上信息，求在被抽查学生中，一周“主动做家务事”3次的人数；

（2）若在被抽查学生中随机抽取1名，则抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是多少？

（3）根据样本数据，估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 3)$ 三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $M$ 的坐标；

（2）连接 $AC$ 、 $BC$ ， $N$ 为抛物线上的点且在第四象限，当 $S_{ΔNBC} = S_{ΔABC}$ 时，求 $N$ 点的坐标；

（3）在（2）问的条件下，过点 $C$ 作直线 $l / / x$ 轴，动点 $P (m, 3)$ 在直线 $l$ 上，动点 $Q (m, 0)$ 在 $x$ 轴上，连接 $PM$ 、 $PQ$ 、 $NQ$ ，当 $m$ 为何值时， $PM + PQ + QN$ 最小，并求出 $PM + PQ + QN$ 的最小值．

如图， $CD$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $BC$ 、 $BD$ ，直线 $AB$ 与 $CD$ 的延长线相交于点 $A$ ， $A B^{2} = AD \cdot AC$ ， $OE / / BD$ 交直线 $AB$ 于点 $E$ ， $OE$ 与 $BC$ 相交于点 $F$ ．

（1）求证：直线 $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3， $\cos A = \frac{4}{5}$ ，求 $OF$ 的长．