如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，-优题课

"互联网 $+$ "时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为 $x$ 元 $(x$ 为正整数），每月的销售量为 $y$ 条．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为 $w$ 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

如图， $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $OP$ 交 $⊙ O$ 于 $E$ ．过 $A$ 点作 $AB ⊥ PO$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于 $B$ ，连接 $BC$ ， $PB$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $E$ 为 $ΔPAB$ 的内心；

（3）若 $\cos ∠ PAB = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $BC = 1$ ，求 $PO$ 的长．

为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度 $AB$ ，他站在距离教学楼底部 $E$ 处6米远的地面 $C$ 处，测得宣传牌的底部 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，同时测得教学楼窗户 $D$ 处的仰角为 $30 ° (A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上）．然后，小明沿坡度 $i = 1 : 1.5$ 的斜坡从 $C$ 走到 $F$ 处，此时 $DF$ 正好与地面 $CE$ 平行．

（1）求点 $F$ 到直线 $CE$ 的距离（结果保留根号）；

（2）若小明在 $F$ 处又测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求宣传牌的高度 $AB$ （结果精确到0.1米， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$ ．

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 2 k - 1 = 0$ 有实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）设方程的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = x_{1} \cdot x_{2}$ ，试求 $k$ 的值．

某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	11	20	40	$m$	4

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）统计表中 $m$ 的值为　　，统计图中 $n$ 的值为　　， $A$ 类对应扇形的圆心角为　　度；

（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；

（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．