如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，-优题课

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.

（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，在 $ΔABC$ 中， $BC > AC$ ，点 $E$ 在 $BC$ 上， $CE = CA$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，连接 $DE$ ， $∠ ACB + ∠ ADE = 180 °$ ，作 $CH ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ．

（1）如图 $a$ ，当 $∠ ACB = 90 °$ 时，连接 $CD$ ，过点 $C$ 作 $CF ⊥ CD$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ．

①求证： $FA = DE$ ；

②请猜想三条线段 $DE$ ， $AD$ ， $CH$ 之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图 $b$ ，当 $∠ ACB = 120 °$ 时，三条线段 $DE$ ， $AD$ ， $CH$ 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润 $y_{1}$ （万元）与投资成本 $x$ （万元）满足如图①所示的二次函数 $y_{1} = a x^{2}$ ；种植柏树的利润 $y_{2}$ （万元）与投资成本 $x$ （万元）满足如图②所示的正比例函数 $y_{2} = kx$ ．

（1）分别求出利润 $y_{1}$ （万元）和利润 $y_{2}$ （万元）关于投资成本 $x$ （万元）的函数关系式；

（2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？

小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树 $A$ 和 $B$ 之间的距离，他在 $A$ 处测得大树 $B$ 在 $A$ 的北偏西 $30 °$ 方向，他从 $A$ 处出发向北偏东 $15 °$ 方向走了200米到达 $C$ 处，测得大树 $B$ 在 $C$ 的北偏西 $60 °$ 方向．

（1）求 $∠ ABC$ 的度数；

（2）求两棵大树 $A$ 和 $B$ 之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ ， $∠ MAC = ∠ CAB$ ，作 $CD ⊥ AM$ ，垂足为 $D$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ ACD = 30 °$ ， $AD = 4$ ，求图中阴影部分的面积．

某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分观众开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题：

（1）本次问卷调查共调查了　　名观众；

（2）图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为　　，“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为　　；

（3）补全图①中的条形统计图；

（4）现有最喜爱“新闻节目”（记为 $A)$ ，“体育节目”（记为 $B)$ ，“综艺节目”（记为 $C)$ ，“科普节目”（记为 $D)$ 的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“ $B$ ”和“ $C$ ”两位观众的概率．