（本题8分）已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC-优题课

（本题8分）已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想：DF与AE的关系是______。
（2）试说明你猜想的正确性。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点都在格点上，点 $A$ 的坐标为 $(2, 2)$ 请解答下列问题：

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标．

（2）画出 $ΔABC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出 $A_{2}$ 的坐标．

（3）画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于原点 $O$ 成中心对称的△ $A_{3} B_{3} C_{3}$ ，并写出 $A_{3}$ 的坐标．

已知：如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $B$ ，线段 $OA$ 的长是方程 $x^{2} - 7 x - 8 = 0$ 的一个根，请解答下列问题：

（1）求点 $B$ 坐标；

（2）双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 与直线 $AB$ 交于点 $C$ ，且 $AC = 5 \sqrt{5}$ ，求 $k$ 的值；

（3）在（2）的条件下，点 $E$ 在线段 $AB$ 上， $AE = \sqrt{5}$ ，直线 $l ⊥ y$ 轴，垂足为点 $P (0, 7)$ ，点 $M$ 在直线 $l$ 上，坐标平面内是否存在点 $N$ ，使以 $C$ 、 $E$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产 $A$ ， $B$ 两种机械设备，每台 $B$ 种设备的成本是 $A$ 种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产 $A$ 种设备，36万元生产 $B$ 种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：

（1） $A$ 、 $B$ 两种设备每台的成本分别是多少万元？

（2）若 $A$ ， $B$ 两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且 $A$ 种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；

（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台 $A$ 种设备，航空运输每次运2台 $B$ 种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数．

已知线段 $AB ⊥$ 直线 $l$ 于点 $B$ ，点 $D$ 在直线 $l$ 上，分别以 $AB$ 、 $AD$ 为边作等边三角形 $ABC$ 和等边三角形 $ADE$ ，直线 $CE$ 交直线 $l$ 于点 $F$ ．

（1）当点 $F$ 在线段 $BD$ 上时，如图①，求证： $DF = CE - CF$ ；

（2）当点 $F$ 在线段 $BD$ 的延长线上时，如图②；当点 $F$ 在线段 $DB$ 的延长线上时，如图③，请分别写出线段 $DF$ 、 $CE$ 、 $CF$ 之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若 $BD = 2 BF$ ， $EF = 6$ ，则 $CF =$ 　　．

$A$ ， $B$ ， $C$ 三地在同一条公路上， $A$ 地在 $B$ ， $C$ 两地之间，甲、乙两车同时从 $A$ 地出发匀速行驶，甲车驶向 $C$ 地，乙车先驶向 $B$ 地，到达 $B$ 地后，调头按原速经过 $A$ 地驶向 $C$ 地（调头时间忽略不计），到达 $C$ 地停止行驶，甲车比乙车晚0.4小时到达 $C$ 地，两车距 $B$ 地的路程 $y (km)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲车行驶的速度是　　 $km / h$ ，并在图中括号内填入正确的数值；

（2）求图象中线段 $FM$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 的函数解析式（不需要写出自变量 $x$ 的取值范围）；

（3）在乙车到达 $C$ 地之前，甲、乙两车出发后几小时与 $A$ 地路程相等？直接写出答案．