（本小题满分14分）某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机-优题课

（本小题满分14分）
某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台. 现销售给A地10台，B地8台. 已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元.
（1）设从甲地调运x台至A地，求总费用y关于台数x的函数解析式；
（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
（3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.

科目数学题型解答题难度中等

现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 $\frac{3}{5}$ ,答对每道乙类题的概率都是 $\frac{4}{5}$ ,且各题答对与否相互独立.用 $X$ 表示张同学答对题的个数,求 $X$ 的分布列和数学期望.

如图， $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直圆所在的平面， $C$ 是圆上的点.

（I）求证平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ;
（II）若 $A B = 2, A C = 1, P A = 1$ ，求证:二面角 $C - P B - A$ 的余弦值.

设向量 $a = (\sqrt{3} \sin x, \sin x)$ , $b = (\cos x, \sin x)$ , $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

（I）若 $|a| = |b|$ ,求 $x$ 的值.

（II）设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ,求 $f (x)$ 的最大值.

已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = |\frac{x - a}{x + 2 a}|$ .
（I）记 $f (x)$ 在区间 $[0, 4]$ 上的最大值为 $g (a)$ ,求 $g (a)$ 的表达式；
（II）是否存在 $a$ ，使函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$ ,且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $A, B$ , $l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $C, D$ .以 $A B, C D$ 为直径的圆 $M$ ，圆 $N$ （ $M, N$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$ .
（I）若 $k_{1} > 0, k_{2} > 0$ ,证明； $\overset{⇀}{F M} \cdot \overset{⇀}{F N} < 2 p^{2}$ ；
（II）若点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ ,求抛物线 $E$ 的方程.

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