（本小题满分12分）
某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和
的分布列及数学期望．
已知动点
与定点
的距离和它到直线
的距离之比是常数
,记
的轨迹为曲线
.
（I）求曲线的方程；
（II）设直线
与曲线交于
两点，点
关于
轴的对称点为
,试问：当
变化时，直线
与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)
中，
（I）若
为
的中点，求证：平面
平面
；
（II）若为线段上一点，且二面角
的大小为
，试确定的位置．
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
| 组别 |
分组 |
频数 |
频率 |
| 第1组 |
[50，60） |
8 |
0.16 |
| 第2组 |
[60，70） |
a |
▓ |
| 第3组 |
[70，80） |
20 |
0.40 |
| 第4组 |
[80，90） |
▓ |
0.08 |
| 第5组 |
[90，100] |
2 |
b |
| 合计 |
▓ |
▓ |
频率分布直方图
、
（Ⅰ）写出
的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，设
表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.
设数列
满足：
点
均在直线
上.
（I）证明数列
为等比数列，并求出数列的通项公式；
（II）若
,求数列
的前
项和
.
已知函数
在
处取得极值，且恰好是
的一个零点．
（Ⅰ）求实数
的值，并写出函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
、
分别是曲线
在点
和
（其中
）处的切线，且
．
①若与的倾斜角互补，求
与
的值；
②若
（其中
是自然对数的底数），求
的取值范围．