已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N-优题课

已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行．
（1）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值（用t表示）；
（2）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x - 1 (a < 0) .$ 若曲线 $y = f (x)$ 的斜率最小的切线与直线 $12 x + y = 6$ 平行，求：

（Ⅰ） $a$ 的值;

（Ⅱ）函数 $f (x)$ 的单调区间.

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率.

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ .已知 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} bc$ ，求：

（Ⅰ） $A$ 的大小;

（Ⅱ） $2 \sin B \cos C - \sin (B - C)$ 的值.

已知函数 $f (x) = \ln^{2} (1 + x) - \frac{x^{2}}{1 + x}$ .

( I ) 求函数 $f (x)$ 的单调区间;

( II ) 若不等式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{a + a} \leq e$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立（其中 $e$ 是自然对数的底数）.求 $α$ 的最大值.

若 $A 、 B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的不同两点, 弦 $AB$ (不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ , 则称弦 $AB$ 是点 $P$ 的一条 "相关弦".已知当 $x > 2$ 时，点 $P (x, 0)$

存在无穷多条 "相关弦" .给定 $x_{0} > 2$ .

(I) 证明：点 $P (x_{0}, 0)$ 的所有"相关弦"的中点的横坐标相同;

(II) 试问：点 $P (x_{0}, 0)$ 的"相关弦"的弦长中是否存在最大值?若存在, 求其最大值（用 $x_{0}$ 表示)：若不存在, 请说明理由.