小明爸爸骑摩托车带着小明在公路行驶，下图是小明在不同时间看到-优题课

小明爸爸骑摩托车带着小明在公路行驶，下图是小明在不同时间看到的里程碑情况.你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？

如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
（1）12:00时小明看到的数可表示为                                           ，
根据“两个数字之和是7”，可列出方程                                     ；
（2）13:00时小明看到的数可表示为                                           ，
根据“13:00时看到的两位数比12:00时看到的大45”，可列出方程              ；
（3）根据以上分析，得出方程组，并求出小明在12：00时看到的里程碑上的数.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二元一次不定方程的应用

如图，点 $C$ 在 $B D$ 上， $A B ⊥ B D ， E D ⊥ B D ， A C ⊥ C E ， A B ＝ C D$ ．求证： $△ A B C ≌ △ C D E$ ．

在平面直角坐标系内有三点 $A （ ﹣ 1 ， 4 ）、 B （ ﹣ 3 ， 2 ）、 C （ 0 ， 6 ）$ ．

（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；

（2）判断 $A 、 B 、 C$ 三点是否在同一直线上，并说明理由．

如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＜ 0 ）$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B （ 1 ， 0 ）$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x ＝ ﹣ 1$ ，且 $O A ＝ O C$ ， $P$ 为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接 $A C$ ，当点 $P$ 在直线 $A C$ 上方时，求四边形 $P A B C$ 面积的最大值，并求出此时 $P$ 点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 $P ， M$ 运动时，在坐标轴上是否存在点 $N$ ，使四边形 $P M C N$ 为矩形？若存在，直接写出点 $P$ 及其对应点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $（ a + b + c ） d ＝ a d + b d + c d$

公式②： $（ a + b ）（ c + d ）＝ a c + a d + b c + b d$

公式③： $（ a ﹣ b ）^{2} ＝ a^{2} ﹣ 2 a b + b^{2}$

公式④： $（ a + b ）^{2} ＝ a^{2} + 2 a b + b^{2}$

图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $（ a + b ）（ a ﹣ b ）＝ a^{2} ﹣ b^{2}$ 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C ＝ 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为边 $A C$ 上任意一点（不与端点重合），过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，作 $E H ⊥ A D$ 于点 $H$ ，过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F$ ．记 $△ B F G$ 与 $△ C E G$ 的面积之和为 $S_{1}$ ， $△ A B D$ 与 $△ A E H$ 的面积之和为 $S_{2}$ ．

①若 $E$ 为边 $A C$ 的中点，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为＿＿＿＿＿；

②若 $E$ 不为边 $A C$ 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供 $150$ 个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 $x$ 天（ $1 \leq x \leq 15$ ，且 $x$ 为正整数）的供应量 $y_{1}$ （单位：个）和需求量 $y_{2}$ （单位：个）的部分数据如下表，其中需求量 $y_{2}$ 与 $x$ 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

第 $x$ 天	$1$	$2$	…	$6$	…	$11$	…	$15$
供应量 $y_{1}$ （个）	$150$	$150 + m$	…	$150 + 5 m$	…	$150 + 10 m$	…	$150 + 14 m$
需求量 $y_{2}$ （个）	$220$	$229$	…	$245$	…	$220$	…	$164$

（1）直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 和 $y_{2}$ 与 $x$ 的函数关系式；（不要求写出 $x$ 的取值范围）

（2）已知从第 $10$ 天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 $9$ 天的总需求量超过总供应量，前 $10$ 天的总需求量不超过总供应量），求 $m$ 的值；（参考数据：前 $9$ 天的总需求量为 $2136$ 个）

（3）在第（2）问 $m$ 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 $100$ 元，求第 $4$ 天与第 $12$ 天的销售额．