先化简，再求值：，其中．-优题课

已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25⁰，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下：

（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动．

已知反比例函数（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当y₁＞y₂时，试比较x₁与x₂的大小．

解不等式组

$R M O_{1} O_{2}$ 如图半径分别为 $m$ ， $n （ 0 ＜ m ＜ n ）$ 的两圆 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且点 $P （ 4 ， 1 ）$ ，两圆同时与两坐标轴相切， $⊙ O_{1}$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别切于点 $M$ ，点 $N$ ， $⊙ O_{2}$ 与x轴， $y$ 轴分别切于点 $R$ ，点 $H$ ．

（1）求两圆的圆心 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 之间的距离 $d$ ；
（3）令四边形 $P O_{1} Q O_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形RMO₁O₂的面积为 $S_{2}$ ．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为 $\frac{|s_{1} - s_{2}|}{\sqrt{2} d}$ 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．