如图，已知ABAC，ADAE．求证：BDCE．-优题课

计算： $\sqrt{4} - {(- 1)}^{2} - {(π - 1)}^{0} + 2^{- 1}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $A (0, - \frac{7}{4})$ ，点 $B (1, \frac{1}{4})$ ．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当 $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ 时，求二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的最大值和最小值；

（3）点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $PQ / / x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- 2 m + 1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $PQ$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．

①求 $m$ 的取值范围；

②当 $PQ ⩽ 7$ 时，直接写出线段 $PQ$ 与二次函数 $y = x^{2} + bx + c (- 2 ⩽ x < \frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 3 cm$ ， $AD = \sqrt{3} cm$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿折线 $AB - BC$ 向终点 $C$ 运动，在边 $AB$ 上以 $1 cm / s$ 的速度运动；在边 $BC$ 上以 $\sqrt{3} cm / s$ 的速度运动，过点 $P$ 作线段 $PQ$ 与射线 $DC$ 相交于点 $Q$ ，且 $∠ PQD = 60 °$ ，连接 $PD$ ， $BD$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $ΔDPQ$ 与 $ΔDBC$ 重合部分图形的面积为 $y (c m^{2})$ ．

（1）当点 $P$ 与点 $A$ 重合时，直接写出 $DQ$ 的长；

（2）当点 $P$ 在边 $BC$ 上运动时，直接写出 $BP$ 的长（用含 $x$ 的代数式表示）；

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $BC$ 上一点，将 $ΔBDE$ 沿 $DE$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

（1）若 $AB = a$ ．直接写出 $CD$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若 $DF ⊥ BC$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $CE$ 的异侧，连接 $CF$ ，如②，判断四边形 $ADFC$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $DF ⊥ AB$ ，直接写出 $∠ BDE$ 的度数．

疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过 $a$ 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数 $y$ （万人）与各自接种时间 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图所示．

（1）直接写出乙地每天接种的人数及 $a$ 的值；

（2）当甲地接种速度放缓后，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．