如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy-优题课

如图所示， $⊙ O$ 的半径为4，点 $A$ 是 $⊙ O$ 上一点，直线 $l$ 过点 $A$ ； $P$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点（不与点 $A$ 重合），过点 $P$ 作 $PB ⊥ l$ 于点 $B$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，直径 $PD$ 延长线交直线 $l$ 于点 $F$ ，点 $A$ 是 $\hat{DE}$ 的中点．

（1）求证：直线 $l$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $PA = 6$ ，求 $PB$ 的长．

（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：

应聘者	专业知识	讲课	答辩
甲	70	85	80
乙	90	85	75
丙	80	90	85

按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权 $5 : 4 : 1$ ．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？

（2）我市举行了某学科实验操作考试，有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．

①小厉参加实验 $D$ 考试的概率是　　；

②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．

“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，小红距家的距离 $y (km)$ 随时间 $x (ℎ)$ 变化的函数图象大致如图所示．

（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为　　 $km / ℎ$ ；

（2）当 $1.5 ⩽ x ⩽ 2.5$ 时，求出路程 $y (km)$ 关于时间 $x (ℎ)$ 的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？

已知：如图，四边形 $ABCD$ ， $AB / / DC$ ， $CB ⊥ AB$ ， $AB = 16 cm$ ， $BC = 6 cm$ ， $CD = 8 cm$ ，动点 $P$ 从点 $D$ 开始沿 $DA$ 边匀速运动，动点 $Q$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边匀速运动，它们的运动速度均为 $2 cm / s$ ．点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发，以 $QA$ 、 $QP$ 为边作平行四边形 $AQPE$ ，设运动的时间为 $t (s)$ ， $0 < t < 5$ ．

根据题意解答下列问题：

（1）用含 $t$ 的代数式表示 $AP$ ；

（2）设四边形 $CPQB$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）当 $QP ⊥ BD$ 时，求 $t$ 的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使点 $E$ 在 $∠ ABD$ 的平分线上？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是 $m$ ，纵长是 $n$ 的矩形框架 $(m$ 、 $n$ 是正整数），需要木棒的条数．

如图①，当 $m = 1$ ， $n = 1$ 时，横放木棒为 $1 \times (1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(1 + 1) \times 1$ 条，共需4条；

如图②，当 $m = 2$ ， $n = 1$ 时，横放木棒为 $2 \times (1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(2 + 1) \times 1$ 条，共需7条；

如图③，当 $m = 2$ ， $n = 2$ 时，横放木棒为 $2 \times (2 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(2 + 1) \times 2$ 条，共需12条；

如图④，当 $m = 3$ ， $n = 1$ 时，横放木棒为 $3 \times (1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(3 + 1) \times 1$ 条，共需10条；

如图⑤，当 $m = 3$ ， $n = 2$ 时，横放木棒为 $3 \times (2 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(3 + 1) \times 2$ 条，共需17条．

问题（一 $)$ ：当 $m = 4$ ， $n = 2$ 时，共需木棒　　条．

问题（二 $)$ ：当矩形框架横长是 $m$ ，纵长是 $n$ 时，横放的木棒为　　条，

纵放的木棒为　　条．

探究二

用若干木棒来搭建横长是 $m$ ，纵长是 $n$ ，高是 $s$ 的长方体框架 $(m$ 、 $n$ 、 $s$ 是正整数），需要木棒的条数．

如图⑥，当 $m = 3$ ， $n = 2$ ， $s = 1$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3 \times (2 + 1) + (3 + 1) \times 2] \times (1 + 1) = 34$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times 1 = 12$ 条，共需46条；

如图⑦，当 $m = 3$ ， $n = 2$ ， $s = 2$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3 \times (2 + 1) + (3 + 1) \times 2] \times (2 + 1) = 51$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times 2 = 24$ 条，共需75条；

如图⑧，当 $m = 3$ ， $n = 2$ ， $s = 3$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3 \times (2 + 1) + (3 + 1) \times 2] \times (3 + 1) = 68$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times 3 = 36$ 条，共需104条．

问题（三 $)$ ：当长方体框架的横长是 $m$ ，纵长是 $n$ ，高是 $s$ 时，横放与纵放木棒条数之和为　　条，竖放木棒条数为　　条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　　．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　　条．