已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点-优题课

已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} x + 2 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ．

（1）如图1，连接 $AC$ ， $BC$ ．若点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PE / / y$ 轴交 $BC$ 于点 $E$ ，作 $PF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，过点 $B$ 作 $BG / / AC$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ．点 $H$ ， $K$ 分别在对称轴和 $y$ 轴上运动，连接 $PH$ ， $HK$ ．当 $ΔPEF$ 的周长最大时，求 $PH + HK + \frac{\sqrt{3}}{2} KG$ 的最小值及点 $H$ 的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线 $AC$ 方向平移，当抛物线经过原点 $O$ 时停止平移，此时抛物线顶点记为 $D'$ ， $N$ 为直线 $DQ$ 上一点，连接点 $D'$ ， $C$ ， $N$ ，△ $D' CN$ 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标；若不能，请说明理由．

在 $▱ ABCD$ 中， $BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AD$ 于点 $E$ ．

（1）如图1，若 $∠ D = 30 °$ ， $AB = \sqrt{6}$ ，求 $ΔABE$ 的面积；

（2）如图2，过点 $A$ 作 $AF ⊥ DC$ ，交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，分别交 $BE$ ， $BC$ 于点 $G$ ， $H$ ，且 $AB = AF$ ．求证： $ED - AG = FC$ ．

某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．

（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？

（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有 $40 %$ 和 $20 %$ 参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 $2 a %$ ，毎个摊位的管理费将会减少 $\frac{3}{10} a %$ ；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 $6 a %$ ，每个摊位的管理费将会减少 $\frac{1}{4} a %$ ．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少 $\frac{5}{18} a %$ ，求 $a$ 的值．

函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数 $y = - 2 | x |$ 的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数 $y = - 2 | x | + 2$ 和 $y = - 2 | x + 2 |$ 的图象如图所示．

$x$	$\dots$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	0	$- 2$	$- 4$	$- 6$	$\dots$

（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点 $A$ ， $B$ 的坐标和函数 $y = - 2 | x + 2 |$ 的对称轴．

（2）探索思考：平移函数 $y = - 2 | x |$ 的图象可以得到函数 $y = - 2 | x | + 2$ 和 $y = - 2 | x + 2 |$ 的图象，分别写出平移的方向和距离．

（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 $y = - 2 | x - 3 | + 1$ 的图象．若点 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ 和 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ 在该函数图象上，且 $x_{2} > x_{1} > 3$ ，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数 $-$ “纯数”．

定义：对于自然数 $n$ ，在通过列竖式进行 $n + (n + 1) + (n + 2)$ 的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数 $n$ 为“纯数”．

例如：32是“纯数”，因为 $32 + 33 + 34$ 在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为 $23 + 24 + 25$ 在列竖式计算时个位产生了进位．

（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．