宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年是光在一年内通过的距离-优题课

某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 $x$ （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 $y$ （万元）．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）若每生产1吨甲产品需要 $A$ 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要 $A$ 原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的 $A$ 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ．将 $ΔABC$ 沿着 $BC$ 方向平移得到 $ΔDEF$ ，其中点 $E$ 在边 $BC$ 上， $DE$ 与 $AC$ 相交于点 $O$ ．

（1）求证： $ΔOEC$ 为等腰三角形；

（2）连接 $AE$ 、 $DC$ 、 $AD$ ，当点 $E$ 在什么位置时，四边形 $AECD$ 为矩形，并说明理由．

现有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个不透明的盒子， $A$ 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个， $B$ 盒中装有红球、黄球各1个， $C$ 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个盒子中任意摸出一个球．

（1）从 $A$ 盒中摸出红球的概率为　　；

（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．

为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内， $2 ~ 4$ 小时（含2小时）， $4 ~ 6$ 小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了　　名中学生，其中课外阅读时长“ $2 ~ 4$ 小时”的有　　人；

（2）扇形统计图中，课外阅读时长“ $4 ~ 6$ 小时”对应的圆心角度数为　　 $°$ ；

（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 3$ ， $BC = 4$ ．求作菱形 $DEFG$ ，使点 $D$ 在边 $AC$ 上，点 $E$ 、 $F$ 在边 $AB$ 上，点 $G$ 在边 $BC$ 上．

小明的作法

1．如图②，在边 $AC$ 上取一点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DG / / AB$ 交 $BC$ 于点 $G$ ．

2．以点 $D$ 为圆心， $DG$ 长为半径画弧，交 $AB$ 于点 $E$ ．

3．在 $EB$ 上截取 $EF = ED$ ，连接 $FG$ ，则四边形 $DEFG$ 为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形 $DEFG$ 是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 $D$ 的位置变化而变化 $\dots \dots$ 请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 $CD$ 的长的取值范围．