烟台享有苹果之乡的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的-优题课

烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．

科目数学题型解答题难度中等

如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 3)$ 和 $B (3, 1)$ ．

（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $OP$ ，若 $ΔPOD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围．

如图所示，我国两艘海监船 $A$ ， $B$ 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 $C$ ，此时， $B$ 船在 $A$ 船的正南方向5海里处， $A$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $45 °$ 方向， $B$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $53 °$ 方向，已知 $A$ 船的航速为30海里 $/$ 小时， $B$ 船的航速为25海里 $/$ 小时，问 $C$ 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 边于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $CF / / AB$ ，与过点 $B$ 的切线交于点 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $BD = BF$ ；

（2）若 $AB = 10$ ， $CD = 4$ ，求 $BC$ 的长．

为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．

调查结果统计表

组别	分组（单位：元）	人数
$A$	$0 ⩽ x < 30$	4
$B$	$30 ⩽ x < 60$	16
$C$	$60 ⩽ x < 90$	$a$
$D$	$90 ⩽ x < 120$	$b$
$E$	$x ⩾ 120$	2

请根据以上图表，解答下列问题：

（1）填空：这次被调查的同学共有　　人， $a + b =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）求扇形统计图中扇形 $C$ 的圆心角度数；

（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额 $x$ 在 $60 ⩽ x < 120$ 范围的人数．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3$ 与直线 $y = x + 3$ 交于点 $A (m, 0)$ 和点 $B (2, n)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $m$ ， $n$ 的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把 $ΔAOC$ 平移，始终保持点 $A$ 的对应点 $P$ 在抛物线上，点 $C$ ， $O$ 的对应点分别为 $M$ ， $N$ ，连接 $OP$ ，若点 $M$ 恰好在直线 $y = x + 3$ 上，求线段 $OP$ 的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点 $Q$ （不与点 $C$ 重合），使 $ΔQAB$ 和 $ΔABC$ 的面积相等？若存在，直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．