某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：第一档电量第二档电量-优题课

某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：

第一档电量	第二档电量	第三档电量
月用电量210度以下，每度价格0.52元	月用电量210度至350度，每度比第一档提价0.05元	月用电量350度以上，每度比第一档提价0.30元

例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+（350﹣210）×（0.52+0.05）+（400﹣350）×（0.52+0.30）=230（元）
（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
（2）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？

科目数学题型解答题难度中等

数学活动课上，某学习小组对有一内角为 $120 °$ 的平行四边形 $ABCD (∠ BAD = 120 °)$ 进行探究：将一块含 $60 °$ 的直角三角板如图放置在平行四边形 $ABCD$ 所在平面内旋转，且 $60 °$ 角的顶点始终与点 $C$ 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 $AB$ ， $AD$ 于点 $E$ ， $F$ （不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若 $AD = AB$ ，求证：① $ΔBCE ≅ ΔACF$ ，② $AE + AF = AC$ ；

（2）类比发现

如图2，若 $AD = 2 AB$ ，过点 $C$ 作 $CH ⊥ AD$ 于点 $H$ ，求证： $AE = 2 FH$ ；

（3）深入探究

如图3，若 $AD = 3 AB$ ，探究得： $\frac{AE + 3 AF}{AC}$ 的值为常数 $t$ ，则 $t =$ 　　．

如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + bx + c (b$ ， $c$ 为常数）的图象经过点 $A (3, 1)$ ，点 $C (0, 4)$ ，顶点为点 $M$ ，过点 $A$ 作 $AB / / x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $D$ ，交该二次函数图象于点 $B$ ，连接 $BC$ ．

（1）求该二次函数的解析式及点 $M$ 的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移 $m (m > 0)$ 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 $ΔABC$ 的内部（不包括 $ΔABC$ 的边界），求 $m$ 的取值范围；

（3）点 $P$ 是直线 $AC$ 上的动点，若点 $P$ ，点 $C$ ，点 $M$ 所构成的三角形与 $ΔBCD$ 相似，请直接写出所有点 $P$ 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．

（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间 $(1$ 个养老床位），双人间 $(2$ 个养老床位），三人间 $(3$ 个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和 $30)$ ，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为 $t$ ．

①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求 $t$ 的值；

②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？

中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩 $x$ 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：

抽取的200名学生海选成绩分组表

组别	海选成绩 $x$
$A$ 组	$50 ⩽ x < 60$
$B$ 组	$60 ⩽ x < 70$
$C$ 组	$70 ⩽ x < 80$
$D$ 组	$80 ⩽ x < 90$
$E$ 组	$90 ⩽ x < 100$

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（2）在图2的扇形统计图中，记表示 $B$ 组人数所占的百分比为 $a %$ ，则 $a$ 的值为　　，表示 $C$ 组扇形的圆心角 $θ$ 的度数为　　度；

（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？

如图，已知四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$ ，连接 $BD$ ， $∠ BAD = 105 °$ ， $∠ DBC = 75 °$ ．

（1）求证： $BD = CD$ ；

（2）若圆 $O$ 的半径为3，求 $\hat{BC}$ 的长．