先化简，再求值(12分)已知,求的值．-优题课

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与坐标轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ 的图象在第一象限的交点为 $C$ ， $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 3$ ， $OD = 6$ ， $ΔAOB$ 的面积为3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出当 $x > 0$ 时， $kx + b - \frac{n}{x} < 0$ 的解集．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线 $DE$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ， $AC$ 的反向延长线交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DE ⊥ AC$ ；

（2）若 $DE + EA = 8$ ， $⊙ O$ 的半径为10，求 $AF$ 的长度．

为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）求该班的人数；

（2）请把折线统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；

（4）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x}$ ，当 $k > 0$ 时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x}$ 图象的交点为 $A$ ， $B$ ，已知 $A$ 点的坐标为 $(- k, - 1)$ ，则 $B$ 点的坐标为　　；

（2）若点 $P$ 为第一象限内双曲线上不同于点 $B$ 的任意一点．

①设直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．求证： $PM = PN$ ．

证明过程如下：设 $P (m, \frac{k}{m})$ ，直线 $PA$ 的解析式为 $y = ax + b (a \neq 0)$ ．

则 $\{\begin{matrix} - ka + b = - 1 \\ ma + b = \frac{k}{m} \end{matrix}$ ，

解得 $\{\begin{matrix} a = \\ b = \end{matrix}$ 　　

$∴$ 直线 $PA$ 的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$ 点坐标为 $(1$ ， $k) (k \neq 1)$ 时，判断 $ΔPAB$ 的形状，并用 $k$ 表示出 $ΔPAB$ 的面积．

如图1，在矩形纸片 $ABCD$ 中， $AB = 3 cm$ ， $AD = 5 cm$ ，折叠纸片使 $B$ 点落在边 $AD$ 上的 $E$ 处，折痕为 $PQ$ ，过点 $E$ 作 $EF / / AB$ 交 $PQ$ 于 $F$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证：四边形 $BFEP$ 为菱形；

（2）当点 $E$ 在 $AD$ 边上移动时，折痕的端点 $P$ 、 $Q$ 也随之移动；

①当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时（如图 $2)$ ，求菱形 $BFEP$ 的边长；

②若限定 $P$ 、 $Q$ 分别在边 $BA$ 、 $BC$ 上移动，求出点 $E$ 在边 $AD$ 上移动的最大距离．