（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
正半轴为极轴，已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程是
（
为参数，
，射线
与曲线交于极点外的三点
（1）求证：
；
（2）当
时，
两点在曲线上，求
与
的值．
（本小题满分14分）已知函数
，其中
为实数．
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ） 当
时，若函数
对定义域内的任意
恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）证明，对于任意的正整数
，不等式
恒成立．
（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系
中，离心率为
的椭圆
的左顶点为
，过原点
的直线（与坐标轴不重合）与椭圆
交于
两点，直线
分别与
轴交于
两点．若直线
斜率为时，
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）试问以
为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．
（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
，
平面
，
平面，
，
，
．
（Ⅰ）求棱锥
的体积；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
（本小题满分12分）在
中，内角
的对边分别为
，
．
（Ⅰ）若
，
，求
和
；
（Ⅱ） 若
，且的面积为2
，求
的大小．
（本小题满分12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为
，
，
，
，
．
（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值；
（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在上的概率．