（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图所示，AC为的-优题课

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 $X$ 依次为1,2，……，8，其中 $X \geq 5$ 为标准 $A$ ， $X \geq 3$ 为标准 $B$ ，已知甲厂执行标准 $A$ 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准 $B$ 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数 $X_{1}$ 的概率分布列如下所示：

且 $X_{1}$ 的数字期望 $E X_{1}$ =6，求 $a, b$ 的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数 $X_{2}$ ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 $X_{2}$ 的数学期望.
(III)在（I）、（II）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q = 3$ ，前3项和 $S_{3} = \frac{13}{3}$ 。
（I）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（II）若函数 $f (x) = A \sin (2 x + φ) (A > 0, 0 < φ < ρ < π)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值，且最大值为 $a_{3}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式.

若数列 $A : a_{1}, a_{2} \dots a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $|a_{k + 1} - a_{k}| = 1 (k = 1, 2, \dots, n - 1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列。记 $S (A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 。
（Ⅰ）写出一个 $E$ 数列 $A_{5}$ 满足 $a_{1} = a_{3} = 0$ ；
（Ⅱ）若 $a_{1} = 12, n = 2000$ ，证明： $E$ 数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2011$ ；
（Ⅲ）在 $a_{1} = 4$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S (A_{n}) = 0$ 成立的 $n$ 的最小值。

已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 。斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3, 2)$ 。
（1）求椭圆 $G$ 的方程；
（2）求 $∆ P A B$ 的面积。

已知函数 $f (x) = (x - k) e^{x}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间[0,1]上的最小值.