【原创】（本小题满分12分）为调查某市高中男生百米成绩，从该-优题课

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【原创】（本小题满分12分）为调查某市高中男生百米成绩，从该市高中男生中随机抽取20名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．根据有关规定，成绩小于16秒为达标．

（Ⅰ）求这组数据的众数、中位数及达标率（精确到0．01）；
（Ⅱ）从这20人中不达标的人员中任取3人，至少二人成绩在16～17之间的概率．

科目数学题型解答题难度较易

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设 $S_{n}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
（1）若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列,推导 $S_{n}$ 的计算公式;
（2）若 $a_{1} = 1, q \neq 0$ ,且对所有正整数 $n$ ,有 $S_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ .判断 $\{a_{n}\}$ 是否为等比数列.

已知向量 $a = (\cos x, - \frac{1}{2}), b = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in R$ , 设函数 $f (x) = a \cdot b$ .
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期.
（2）求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

设函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{a} x, 0 \leq x \leq a \\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), a < x \leq 1 \end{cases}$ . $a$ 为常数且 $a \in (0, 1)$ .

（1）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (f (\frac{1}{3}))$ ；
（2）若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，但 $f (x) \neq 0$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的二阶周期点.证明函数 $f (x)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 $x_{1}, x_{2}$ ；
（3）对于（2）中的 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $A (x_{1}, f (f (x_{1}))), B (x_{2}, f (f (x_{2}))), C (a^{2}, 0)$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S (a)$ ，求 $S (a)$ 在区间 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ 上的最大值和最小值。

椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, a + b = 3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）如图， $A, B, D$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $D P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，直线 $A D$ 交 $B P$ 于点 $M$ .设 $B P$ 的斜率为 $k$ ， $M N$ 的斜率为 $m$ .证明： $2 m - k$ 为定值.

如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $E$ 为 $C D$ 上一点， $D E = 1$ ， $E C = 3$

（1）证明： $B E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）求点 $B_{1}$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离。

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