一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的
五种商品有购买意向．已知该网民购买
两种商品的概率均为
，购买
两种商品的概率均为
，购买
种商品的概率为
．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量
表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形
是⊙
的内接四边形，延长
和
相交于点
，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
为⊙的直径，且
，求
的长．
（本小题满分12分）设定义在区间
上的函数
的图像为C，点A、B的坐标分别为
且
为图像C上的任意一点，O为坐标原点，当实数
满足
时，记向量
恒成立，则称函数在区间上可在标准
下线性近似，其中是一个确定的正数。
（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线
（Ⅱ）设函数
在区间
上可在标准下线性近似，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数
在区间
上可在标准
下线性近似。
（参考数据：
2．718， 
0．541）
已知直线
经过椭圆S：
的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作
轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为
．
①若直线PA平分线段MN，求的值；
②对任意
，求证：
．
（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体
中，
是侧棱
上的一点，
．
（Ⅰ）试确定
，使直线
与平面
所成角的正切值为
；
（Ⅱ）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的，
垂直于，并证明你的结论．
（本小题满分12分）甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为
，乙与丙击中目标的概率分别为
，每人是否击中目标是相互独立的．记目标被击中的次数为
，且的分布列如下表：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的数学期望．