（本小题满分15分）已知等比数列的前n项和为，且满足．（Ⅰ）-优题课

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题文

（本小题满分15分）已知等比数列的前n项和为，且满足．
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：等比数列

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已知两条直线,相交于点.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线的方程.

等差数列的前项和为，已知.
（1）求通项公式；
（2）若求.

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + a, x < 0 \\ \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，其中 $a$ 是实数，设 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为该函数图象上的点，且 $x_{1} < x_{2}$ ．
（I）指出函数 $f (x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2} < 0$ ，求 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值；
（III）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 取值范围．

已知椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两个焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，且椭圆 $C$ 经过点 $P (\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率：
（II）设过点 $A (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{| A Q |^{2}} = \frac{1}{| A M |^{2}} + \frac{1}{| A N |^{2}}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程．

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C = 2 A A_{1}$ ， $∠ B A C =$ 120°， $D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A D$ 的中点．

（I）在平面 $A B C$ 内，试做出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$ ，说明理由，并证明直线 $l ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，求二面角 $A - A_{1} M - N$ 的余弦值．

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