（本小题满分13分）已知函数，函数（1）求的单调区间；（2）-优题课

（本小题满分13分）已知函数，函数
（1）求的单调区间；
（2）求函数与函数g（x）的曲线所围成封闭图形的面积？

科目数学题型解答题难度较难

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ， $a_{n} a_{n + 1} = λ S_{n} - 1$ ，其中 $λ$ 为常数，
（I）证明： $a_{n + 2} - a_{n} = λ$ ；
（II）是否存在 $λ$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为等差数列？并说明理由.

已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a, b \in R$ ， $e = 2.71828 . . .$ 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 $g (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值；
（Ⅱ）若 $f (1) = 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内有零点，求 $a$ 的取值范围

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）设 $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点, $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交椭圆 $C$ 于点 $P, Q$ .
（i）证明: $O T$ 平分线段 $P Q$ (其中 $O$ 为坐标原点)；
（ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时,求点 $T$ 的坐标.

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f (x) = 2^{x}$ 的图象上（ $n \in N^{*}$ ）.
（1）若 $a_{1} = - 2$ ，点 $(a_{8}, 4 b_{7})$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$ ，求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

三棱锥 $A - B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示.设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点， $P$ 为线段 $B C$ 上的点，且 $M N ⊥ N P$ .

（1）证明： $P$ 为线段 $B C$ 的中点；
（2）求二面角 $A - N P - M$ 的余弦值.

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