（年黑龙江牡丹江农垦10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB-优题课

（年黑龙江牡丹江农垦10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S_△_CPQ：S_△_ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

科目数学题型解答题难度中等

如图，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．连接 $DE$ ， $DF$ ， $BE$ ， $BF$ ．

（1）证明： $ΔADE ≅ ΔCBF$ ．

（2）若 $AB = 4 \sqrt{2}$ ， $AE = 2$ ，求四边形 $BEDF$ 的周长．

先化简，再从 $- 1$ ，0，1，2， $\sqrt{2} + 1$ 中选择一个合适的 $x$ 的值代入求值． $(1 - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ．

计算： ${(2021 - π)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 | - \tan 60 °$ ．

如图，在直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P (m, n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l : y = x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0 < m < 3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l : y = x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．

如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $Rt Δ ABC$ 的斜边 $BC$ 上的两动点， $∠ EAF = 45 °$ ， $CD ⊥ BC$ 且 $CD = BE$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔACD$ ；

（2）求证： $E F^{2} = B E^{2} + C F^{2}$ ；

（3）如图②，作 $AH ⊥ BC$ ，垂足为 $H$ ，设 $∠ EAH = α$ ， $∠ FAH = β$ ，不妨设 $AB = \sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $α + β = 45 °$ 时， $\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}$ 成立．

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