（年江苏连云港14分）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探-优题课

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $B$ 的坐标是 $(m, - 4)$ ，连接 $AO$ ， $AO = 5$ ， $\sin ∠ AOC = \frac{3}{5}$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接 $OB$ ，求 $ΔAOB$ 的面积．

某学校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五个社团，全校1600名学生每人都参加且只参加了其中一个社团的活动．校团委从这1600名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制成了如图不完整的统计图．请根据统计图完成下列问题：

参加本次调查有　　名学生，根据调查数据分析，全校约有　　名学生参加了音乐社团；请你补全条形统计图．

如图，在 $ΔABC$ 和 $ΔCED$ 中， $AB / / CD$ ， $AB = CE$ ， $AC = CD$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $ΔABC$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上的一动点，当 $ΔPCD$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $AE$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E'$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A'$ ，将 $ΔAOC$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1} O C_{1}$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ，且点 $A_{1}$ 恰好落在 $AC$ 上，连接 $C_{1} A'$ ， $C_{1} E'$ ，△ $A' C_{1} E'$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E'$ 的坐标；若不能，请说明理由．

在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，点 $D$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AD$ ，过点 $A$ 作 $AG ⊥ AD$ ，在 $AG$ 上取点 $F$ ，连接 $DF$ ．延长 $DA$ 至 $E$ ，使 $AE = AF$ ，连接 $EG$ ， $DG$ ，且 $GE = DF$ ．

（1）若 $AB = 2 \sqrt{2}$ ，求 $BC$ 的长；

（2）如图1，当点 $G$ 在 $AC$ 上时，求证： $BD = \frac{1}{2} CG$ ；

（3）如图2，当点 $G$ 在 $AC$ 的垂直平分线上时，直接写出 $\frac{AB}{CG}$ 的值．