矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行-优题课

矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形.因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.回答下列问题：
（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中.

（2）要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是________ .
（3）某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a²，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.

科目数学题型解答题难度中等

为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了"党在我心中"党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

组别	成绩 $x$ （分 $)$	频数
$A$	$75.5 ⩽ x < 80.5$	6
$B$	$80.5 ⩽ x < 85.5$	14
$C$	$85.5 ⩽ x < 90.5$	$m$
$D$	$90.5 ⩽ x < 95.5$	$n$
$E$	$95.5 ⩽ x < 100.5$	$p$

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）上表中的 $m =$ 　　， $n =$ 　　， $p =$ 　　．

（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．

（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？

（4）现要从 $E$ 组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛， $E$ 组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．

（1）计算： $2 \cos 30 ° - 2^{- 1} - \sqrt{12} - | \sqrt{3} - 2 | + {(3.14 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简： $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ ，然后 $x$ 从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．

（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $ACDE$ 的中心 $O$ ，作 $FG ⊥ HP$ ，将它分成4份，所分成的四部分和以 $BC$ 为边的正方形恰好能拼成以 $AB$ 为边的正方形．若 $AC = 12$ ， $BC = 5$ ，求 $EF$ 的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$ 的边长为定值 $n$ ，小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ．

已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = α$ ，当角 $α (0 ° < α < 90 °)$ 变化时，探究 $b$ 与 $c$ 的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$ 与 $c$ 的关系式用含 $n$ 的式子表示）．

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $OBA$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $OA = 8 m$ ，桥拱顶点 $B$ 到水面的距离是 $4 m$ ．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2 m$ 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$ 点 $0.4 m$ 时，桥下水位刚好在 $OA$ 处，有一名身高 $1.68 m$ 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，该抛物线在 $x$ 轴下方部分与桥拱 $OBA$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $8 ⩽ x ⩽ 9$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AC$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB$ 为 $⊙ O$ 的弦，点 $E$ 是 $\hat{AC}$ 的中点，过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $N$ ，分别连接 $EB$ ， $CN$ ．

（1） $EM$ 与 $BE$ 的数量关系是　　；

（2）求证： $\hat{EB} = \hat{CN}$ ；

（3）若 $AM = \sqrt{3}$ ， $MB = 1$ ，求阴影部分图形的面积．