（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）若,求函数的单调区间;（Ⅱ-优题课

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题文

（本小题共13分）已知函数．
（Ⅰ）若,求函数的单调区间;
（Ⅱ）若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
（Ⅲ）已知函数，当时,函数图象上的点均在不等式所表示的平面区域内,求实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

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设数列的前项和为。
（1）证明：为等比数列；
（2）证明：求数列的通项公式；
（3）确定与的大小关系，并加以证明。

如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，使得平面平面得到四棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）过的中点的平面与平面平行，试求平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形的面积与三角形的面积之比。
（3）求二面角的余弦值。

已知函数
（1）求的值；
（2）写出函数函数在上的单调区间和值域。

设 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离 $p (A, B)$ 为 $P (A, B) = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}|$

对于平面 $x O y$ 上给定的不同的两点 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ ，

(Ⅰ)若点 $C (x, y)$ 是平面 $x O y$ 上的点，试证明 $P (A, C) + P (C, B) \geq P (A, B)$ ；

(Ⅱ)在平面 $x O y$ 上是否存在点 $C (x, y)$ ，同时满足① $P (A, C) + P (C, B) = P (A, B)$ ；② $P (A, C) = P (C, B)$ .若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

一条双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{1}, - y_{1})$ 是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交点的轨迹 $E$ 的方程式；
（2）若过点 $H (0, h) (h > 1)$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ _,求 $h$ 的值.

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