如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为，山坡坡面上E点处有一休-优题课

如图，在平面直角坐标系 $xoy$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $A (4, 0)$ ，点 $B (0, 4)$ ， $ΔABO$ 的中线 $AC$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $⊙ M$ 经过 $O$ ， $A$ ， $C$ 三点．

（1）求圆心 $M$ 的坐标；

（2）若直线 $AD$ 与 $⊙ M$ 相切于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，求直线 $AD$ 的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点 $B$ 且以圆心 $M$ 为顶点的抛物线上有一动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PE / / y$ 轴，交直线 $AD$ 于点 $E$ ．若以 $PE$ 为半径的 $⊙ P$ 与直线 $AD$ 相交于另一点 $F$ ．当 $EF = 4 \sqrt{5}$ 时，求点 $P$ 的坐标．

如图1，菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$ ， $D$ 在直线上， $∠ BAD = 60 °$ ，以点 $A$ 为旋转中心将菱形 $ABCD$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 30 °)$ ，得到菱形 $AB' C' D'$ ， $B' C'$ 交对角线 $AC$ 于点 $M$ ， $C' D'$ 交直线 $l$ 于点 $N$ ，连接 $MN$ ．

（1）当 $MN / / B' D'$ 时，求 $α$ 的大小．

（2）如图2，对角线 $B' D'$ 交 $AC$ 于点 $H$ ，交直线 $l$ 与点 $G$ ，延长 $C' B'$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $EH$ ．当 $ΔHEB'$ 的周长为2时，求菱形 $ABCD$ 的周长．

扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了 $20 %$ ．已知去年这种水果批发销售总额为10万元．

（1）求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为 $w$ 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计． $)$

如图，正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ 在正方形 $ECGF$ 的边 $CE$ 上，连接 $DG$ ，过点 $A$ 作 $AH / / DG$ ，交 $BG$ 于点 $H$ ．连接 $HF$ ， $AF$ ，其中 $AF$ 交 $EC$ 于点 $M$ ．

（1）求证： $ΔAHF$ 为等腰直角三角形．

（2）若 $AB = 3$ ， $EC = 5$ ，求 $EM$ 的长．

如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：

次数	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次	第6次	第7次	第8次	第9次	第10次
数字	3	5	2	3	3	4	3	5

（1）求前8次的指针所指数字的平均数．

（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次． $)$