（本小题满分12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办-优题课

题文

（本小题满分12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数的图像）．每队有３人“成功” 获一等奖，２人“成功” 获二等奖，１人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（）设为某队获奖等次，求随机变量的分布列及其期望．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：随机思想的发展

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如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心在坐标原点 $O$ ，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n (m > n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线l $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ ，记 $λ = \frac{π}{n}$ ， $∆ B D M$ 和 $∆ A B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当直线 $l 与 y$ 轴重合时，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（2）当 $λ$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ ，使得 $S_{1} = λ S_{2}$ ？并说明理由．

假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N$ （800，50²）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 $p_{0}$ ．
（1）求 $p_{0}$ 的值；
（参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ , $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ．
（2）某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， $A, B$ 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车7辆．若每天要以不小于 $p_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆？

如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，直线 $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是 $P A, P C$ 的中点．
（1）记平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ，试判断直线l与平面 $P A C$ 的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线 $l$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $D$ ，且点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = \frac{1}{2} \vec{C P}$ ．记直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $θ$ ，异面直线与 $E F$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $E - l - C$ 的大小为 $β$ ．求证： $\sin θ = \sin α \sin β$ ．

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $|a_{2} - a_{3}| = 10, a_{1} a_{2} a_{3} = 125$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} \geq 1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 A - 3 \cos (B + C) = 1$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{3}, b = 5$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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