如图所示，在长方形的台球桌桌面上，选择适当的方法击打白球，可-优题课

如图所示，在长方形的台球桌桌面上，选择适当的方法击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入中洞，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠5＝90°．如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘的夹角为∠5＝40°，那么∠1应等于多少度才能保证黑球进入中洞？

科目数学题型解答题难度中等

在等腰 $ΔABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AM$ 是 $ΔABC$ 的角平分线，过点 $M$ 作 $MN ⊥ AC$ 于点 $N$ ， $∠ EMF = 135 °$ ．将 $∠ EMF$ 绕点 $M$ 旋转，使 $∠ EMF$ 的两边交直线 $AB$ 于点 $E$ ，交直线 $AC$ 于点 $F$ ，请解答下列问题：

（1）当 $∠ EMF$ 绕点 $M$ 旋转到如图①的位置时，求证： $BE + CF = BM$ ；

（2）当 $∠ EMF$ 绕点 $M$ 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段 $BE$ ， $CF$ ， $BM$ 之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下， $\tan ∠ BEM = \sqrt{3}$ ， $AN = \sqrt{2} + 1$ ，则 $BM =$ 　　， $CF =$ 　　．

在一条笔直的公路上依次有 $A$ ， $C$ ， $B$ 三地，甲、乙两人同时出发，甲从 $A$ 地骑自行车去 $B$ 地，途经 $C$ 地休息1分钟，继续按原速骑行至 $B$ 地，甲到达 $B$ 地后，立即按原路原速返回 $A$ 地；乙步行从 $B$ 地前往 $A$ 地．甲、乙两人距 $A$ 地的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分 $)$ 之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）请写出甲的骑行速度为　　米 $/$ 分，点 $M$ 的坐标为　　；

（2）求甲返回时距 $A$ 地的路程 $y$ 与时间 $x$ 之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）请直接写出两人出发后，在甲返回 $A$ 地之前，经过多长时间两人距 $C$ 地的路程相等．

某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为 $2 : 1$ ，请结合统计图解答下列问题：

（1）本次活动抽查了　名学生；

（2）请补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是　　度；

（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？

在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ， $CD = 1$ ．以 $AD$ 为腰作等腰 $ΔADE$ ，使 $∠ ADE = 90 °$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ DC$ 交直线 $CD$ 于点 $F$ ．请画出图形，并直接写出 $AF$ 的长．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，连接 $BD$ ，点 $H$ 为 $BD$ 的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使 $PD + PH$ 的值最小，则 $PD + PH$ 的最小值为　　．

（注：抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 ac - b^{2}}{4 a})$