如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC-优题课

如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF＝BE．
（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为边 $AD$ 和 $CD$ 上的点，且 $AE = CF$ ，连接 $AF$ 、 $CE$ 交于点 $G$ ．求证： $AG = CG$ ．

养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间 $x$ （分钟）进行了调查．现把调查结果分成 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

分组	早锻炼时间 $/$ 分钟
$A$	$0 ~ 10$
$B$	$10 ~ 20$
$C$	$20 ~ 30$
$D$	$30 ~ 40$

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在　　区间内；

（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨 $7 : 00 ~ 7 : 40$ 之间的锻炼）

如图，在钝角 $ΔABC$ 中，过钝角顶点 $B$ 作 $BD ⊥ BC$ 交 $AC$ 于点 $D$ ．请用尺规作图法在 $BC$ 边上求作一点 $P$ ，使得点 $P$ 到 $AC$ 的距离等于 $BP$ 的长．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图①，点 $A$ 是 $⊙ O$ 外一点，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点．若 $⊙ O$ 的半径为3，且 $OA = 5$ ，则点 $P$ 到点 $A$ 的最短距离为　；

（2）如图②，已知正方形 $ABCD$ 的边长为4，点 $M$ 、 $N$ 分别从点 $B$ 、 $C$ 同时出发，以相同的速度沿边 $BC$ 、 $CD$ 方向向终点 $C$ 和 $D$ 运动，连接 $AM$ 和 $BN$ 交于点 $P$ ，则点 $P$ 到点 $C$ 的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边 $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别从点 $B$ 、 $C$ 同时出发，以相同的速度沿边 $BC$ 、 $CA$ 方向向终点 $C$ 和 $A$ 运动，连接 $AM$ 和 $BN$ 交于点 $P$ ，求 $ΔAPB$ 面积的最大值，并说明理由．

如图，已知抛物线 $L : y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点．与 $y$ 轴交于 $C$ 点．且 $A (- 1, 0)$ ， $OB = OC = 3 OA$ ．

（1）求抛物线 $L$ 的函数表达式；

（2）在抛物线 $L$ 的对称轴上是否存在一点 $M$ ，使 $ΔACM$ 周长最小？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接 $AC$ 、 $BC$ ，在抛物线 $L$ 上是否存在一点 $N$ ，使 $S_{ΔABC} = 2 S_{ΔOCN}$ ？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．