甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍每副定-优题课

甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元，“十一”长假期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒(不少于4盒)．设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需要y₁元，在乙商店购买需要y₂元．请分别写出y₁，y₂关于x的函数解析式，并对x的取值情况进行分析，说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜．

科目数学题型解答题难度中等

如图1，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} + ax$ 与 $C_{2} : y = - x^{2} + bx$ 相交于点 $O$ 、 $C$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 分别交 $x$ 轴于点 $B$ 、 $A$ ，且 $B$ 为线段 $AO$ 的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$ 的值；

（2）若 $OC ⊥ AC$ ，求 $ΔOAC$ 的面积；

（3）抛物线 $C_{2}$ 的对称轴为 $l$ ，顶点为 $M$ ，在（2）的条件下：

①点 $P$ 为抛物线 $C_{2}$ 对称轴 $l$ 上一动点，当 $ΔPAC$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；

②如图2，点 $E$ 在抛物线 $C_{2}$ 上点 $O$ 与点 $M$ 之间运动，四边形 $OBCE$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ．

（1）如图1，若 $∠ DAB = 120 °$ ，且 $∠ B = 90 °$ ，试探究边 $AD$ 、 $AB$ 与对角线 $AC$ 的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $∠ B = 90 °$ ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $∠ DAB = 90 °$ ，探究边 $AD$ 、 $AB$ 与对角线 $AC$ 的数量关系并说明理由．

如图，以 $AB$ 边为直径的 $⊙ O$ 经过点 $P$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $PC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，且 $∠ ACP = 60 °$ ， $PA = PD$ ．

（1）试判断 $PD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$ 是弧 $AB$ 的中点，已知 $AB = 4$ ，求 $CE \cdot CP$ 的值．

某公司从2013年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：

年度	2013	2014	2015	2016
投入技改资金 $x$ （万元）	2.5	3	4	4.5
产品成本 $y$ （万元 $/$ 件）	7.2	6	4.5	4

（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；

（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．

①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？

②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．

如图，在水平地面上有一幢房屋 $BC$ 与一棵树 $DE$ ，在地面观测点 $A$ 处测得屋顶 $C$ 与树梢 $D$ 的仰角分别是 $45 °$ 与 $60 °$ ， $∠ CAD = 60 °$ ，在屋顶 $C$ 处测得 $∠ DCA = 90 °$ ．若房屋的高 $BC = 6$ 米，求树高 $DE$ 的长度．