甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍每副定-优题课

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - \frac{1}{a}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移2个单位长度，得到点 $B$ ，点 $B$ 在抛物线上．

（1）求点 $B$ 的坐标（用含 $a$ 的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点 $P (\frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{a})$ ， $Q (2, 2)$ ．若抛物线与线段 $PQ$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l : y = kx + 1 (k \neq 0)$ 与直线 $x = k$ ，直线 $y = - k$ 分别交于点 $A$ ， $B$ ，直线 $x = k$ 与直线 $y = - k$ 交于点 $C$ ．

（1）求直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．

①当 $k = 2$ 时，结合函数图象，求区域 $W$ 内的整点个数；

②若区域 $W$ 内没有整点，直接写出 $k$ 的取值范围．

如图， $P$ 是 $\hat{AB}$ 与弦 $AB$ 所围成的图形的外部的一定点， $C$ 是 $\hat{AB}$ 上一动点，连接 $PC$ 交弦 $AB$ 于点 $D$ ．

小腾根据学习函数的经验，对线段 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点 $C$ 在 $\hat{AB}$ 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
$PC / cm$	3.44	3.30	3.07	2.70	2.25	2.25	2.64	2.83
$PD / cm$	3.44	2.69	2.00	1.36	0.96	1.13	2.00	2.83
$AD / cm$	0.00	0.78	1.54	2.30	3.01	4.00	5.11	6.00

在 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当 $PC = 2 PD$ 时， $AD$ 的长度约为　　 $cm$ ．

小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第 $i$ 组有 $x_{i}$ 首， $i = 1$ ，2，3，4；

②对于第 $i$ 组诗词，第 $i$ 天背诵第一遍，第 $(i + 1)$ 天背诵第二遍，第 $(i + 3)$ 天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵， $i = 1$ ，2，3，4；

	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第6天	第7天
第1组	$x_{1}$	$x_{1}$		$x_{1}$
第2组		$x_{2}$	$x_{2}$		$x_{2}$
第3组
第4组				$x_{4}$	$x_{4}$		$x_{4}$

③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：

（1）填入 $x_{3}$ 补全上表；

（2）若 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = 3$ ， $x_{3} = 4$ ，则 $x_{4}$ 的所有可能取值为　　；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为　　首．

在平面内，给定不在同一条直线上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，如图所示，点 $O$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的距离均等于 $a (a$ 为常数），到点 $O$ 的距离等于 $a$ 的所有点组成图形 $G$ ， $∠ ABC$ 的平分线交图形 $G$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

（1）求证： $AD = CD$ ；

（2）过点 $D$ 作 $DE ⊥ BA$ ，垂足为 $E$ ，作 $DF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，延长 $DF$ 交图形 $G$ 于点 $M$ ，连接 $CM$ ．若 $AD = CM$ ，求直线 $DE$ 与图形 $G$ 的公共点个数．