(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体
1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表,并得到如下直方图:
(Ⅰ)若直方图中前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的
人数;
(Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有
关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到如下数据:
年级名次 是否近视 |
1~50 |
951~1000 |
近视 |
41 |
32 |
不近视 |
9 |
18 |
根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
(Ⅲ)在(Ⅱ)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良
好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为,求
的分布列和数学期
望.
附:
P(K2≥k) |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
k |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
(本小题满分12分)
在如图所示的四棱锥中,已知 PA⊥平面ABCD,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:MC∥平面PAD;
(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值;
(3)求二面角的平面角的正切值.
(本小题满分12分)
如图椭圆:
的两个焦点为
、
和顶点
、
构成面积为32的正方形.
(1)求此时椭圆的方程;
(2)设斜率为的直线
与椭圆
相交于不同的两点
、
、
为
的中点,且
. 问:
、
两点能否关于直线
对称. 若能,求出
的取值范围;若不能,请说明理由.
(本小题满分12分)
设双曲线的方程为
,
、
为其左、右两个顶点,
是双曲线
上的任意一点,作
,
,垂足分别为
、
,
与
交于点
.
(1)求点的轨迹
方程;
(2)设、
的离心率分别为
、
,当
时,求
的取值范围.
(本小题满分12分)
己知圆C: (x – 2 )2 + y 2 =" 9," 直线l:x + y = 0.
(1) 求与圆C相切, 且与直线l平行的直线m的方程;
(2) 若直线n与圆C有公共点,且与直线l垂直,求直线n在y轴上的截距b的取值范围;
(本小题满分10分)
命题p:对任意实数都有
恒成立;命题q:关于
的方程
有实数根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数
的取值范围。